整数方程

如果已知$m,n是整数,mn=k, k为已知的一个整数,求m,n的值$
这个时候就可以用因式分解了
比如我们将$k化成几个数的乘积,k=ab$,
$那么m=a, n=b或者m=b, n=a就是一个解$

题目1

题目:
$若n为整数,并且\sqrt{n^2+9n+30}是自然数,求n的值$
$设\sqrt{n^2+9n+30}=k, k \ge 0$
$两边平方$
$n^2+9n+30=k^2$
$两边同时乘以4$
$4n^2+36n+120=4k^2$
$(2n)^2+2 \times 2 \times 9n+81 +120-81=(2k)^2$
$(2n)^2+2 \times 2 \times 9n+9^2 +120-81=(2k)^2$
$[(2n)^2+2 \times 2 \times 9n+9^2] + (120-81)=(2k)^2$
$[2n+9]^2 + 39=(2k)^2$
$39=(2k)^2-(2n+9)^2$
$39=(2k+2n+9)(2k-2n-9)=1\times 39 = 3 \times 13 = -1 \times -39 = -3 \times -13$
$\therefore 有8个可能的解分别是$
$2k+2n+9=1, 2k-2n-9=39 \quad (1)$
$k=10, n=-14$

$2k+2n+9=39, 2k-2n-9=1 \quad (2)$
$k=10, n=5$

$2k+2n+9=3, 2k-2n-9=13 \quad (3)$
$k=4, n=-7$

$2k+2n+9=13, 2k-2n-9=3 \quad (4)$
$k=4, n=-2$

$2k+2n+9=-1, 2k-2n-9=-39 \quad (5)$
$k=-10 不符合条件$

$2k+2n+9=-39, 2k-2n-9=-1 \quad (6)$
$k=-10 不符合条件$

$2k+2n+9=-3, 2k-2n-9=-13 \quad (7)$
$k=-4 不符合条件$

$2k+2n+9=-13, 2k-2n-9=-3 \quad (8)$
$k=-4 不符合条件$


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